Тригонометрические функции острого угла
Прямоугольный треугольник
Треугольник, в котором один угол прямой (\(90^\circ\)).
- Гипотенуза (AB) — сторона, лежащая против прямого угла (самая длинная).
- Катеты (AC и BC) — стороны, образующие прямой угол.
- Для острого угла \(A\):
- противолежащий катет — \(BC\);
- прилежащий катет — \(AC\).
Синус (sin)
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус (cos)
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс (tg)
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Также \(\operatorname{tg}A = \frac{\sin A}{\cos A}\).
Котангенс (ctg)
Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Также \(\operatorname{ctg}A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{1}{\operatorname{tg}A}\).
Основные соотношения
Следствия: зная одну функцию, можно найти все остальные.
Выражение сторон через угол
- Противолежащий катет: \(BC = AB \cdot \sin A = AC \cdot \operatorname{tg}A\)
- Прилежащий катет: \(AC = AB \cdot \cos A = BC \cdot \operatorname{ctg}A\)
- Гипотенуза: \(AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\cos A}\)
Эти формулы позволяют находить неизвестные стороны треугольника, если известен угол и одна сторона.
Значения для часто встречающихся углов
| Угол α | sin α | cos α | tg α | ctg α |
|---|---|---|---|---|
| 30° (\(\frac{\pi}{6}\)) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 45° (\(\frac{\pi}{4}\)) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 | 1 |
| 60° (\(\frac{\pi}{3}\)) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
Эти значения нужно запомнить – они часто используются в задачах.
Пример: нахождение сторон
В прямоугольном треугольнике гипотенуза \(AB = 10\) см, угол \(A = 30^\circ\). Найти катеты \(BC\) и \(AC\).
Противолежащий катет \(BC = AB \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\) см.
Прилежащий катет \(AC = AB \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66\) см.
Ответ: \(BC = 5\) см, \(AC = 5\sqrt{3}\) см.
Задания для тренировки
- В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла.
- Гипотенуза равна 12, угол \( \beta = 60^\circ \). Найдите прилежащий к этому углу катет.
- Известно, что \(\sin \alpha = 0.6\). Найдите \(\cos \alpha\) и \(\operatorname{tg}\alpha\) (угол острый).
- Постройте прямоугольный треугольник, в котором тангенс одного из острых углов равен 2. Укажите отношения сторон.
- В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 5, BC = 12. Найдите \(\sin A\), \(\cos A\), \(\operatorname{tg}A\).
Ответы на следующем слайде.
Ответы
Заключение
- ✔ Тригонометрические функции связывают углы и стороны прямоугольного треугольника.
- ✔ Основные функции: синус, косинус, тангенс, котангенс.
- ✔ Важно помнить значения для углов 30°, 45°, 60°.
- ✔ Соотношения позволяют решать широкий класс геометрических задач.