Дробно рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения: презентация с навигацией
1

Дробно-рациональные уравнения

Урок алгебры
8 класс
2

Формулы сокращенного умножения

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
\(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)
\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\)
\(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)

Эти формулы помогают раскладывать знаменатели на множители и упрощать выражения.

3

Что такое дробно-рациональное уравнение?

Определение: уравнение, в котором обе части — рациональные выражения, и хотя бы одно содержит переменную в знаменателе.

Примеры
  • \(\frac{2x}{x-1} = 3\)
  • \(\frac{5}{x+2} + \frac{x}{x-2} = 1\)
  • \(\frac{x^2-4}{x+2} = 0\)
4

Область допустимых значений (ОДЗ)

⛔ Важно! Знаменатель не может быть равен нулю. ОДЗ — все значения переменной, при которых все знаменатели ≠ 0.

Как найти ОДЗ:

  1. Выписать все знаменатели.
  2. Приравнять каждый к нулю и решить уравнения.
  3. Исключить найденные значения.
Пример: для \(\frac{2x}{x-3}\) ОДЗ: \(x \neq 3\).
5

Алгоритм решения

  1. Найти ОДЗ.
  2. Перенести все члены в одну сторону (справа 0).
  3. Привести дроби к общему знаменателю (используя разложение на множители).
  4. Приравнять числитель к нулю.
  5. Решить полученное целое уравнение.
  6. Проверить корни на ОДЗ, исключить посторонние.
  7. Записать ответ.
6

Пример 1 (линейное)

Решить уравнение: \(\frac{2x}{x-3} = 5\)

Решение:
ОДЗ: \(x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\).
Умножим обе части на \(x-3\): \(2x = 5(x-3)\)
\(2x = 5x – 15 \Rightarrow -3x = -15 \Rightarrow x = 5\).
Проверка ОДЗ: \(5 \neq 3\) ✔
Ответ: \(x = 5\).
7

Пример 2 (сводится к квадратному)

\(\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = 1\)

ОДЗ: \(x \neq \pm 2\).
Общий знаменатель \((x-2)(x+2)\):
\(\frac{x(x+2)+3(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1\)
Умножаем на \((x-2)(x+2)\):
\(x^2+2x+3x-6 = x^2-4\)
\(5x-6 = -4 \Rightarrow 5x=2 \Rightarrow x=0,4\).
Проверка ОДЗ: \(0,4 \neq \pm 2\) ✔
Ответ: \(x = 0,4\).
8

Пример 3 (разность квадратов)

\(\frac{x^2 – 4}{x – 2} = 0\)

ОДЗ: \(x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\).
Числитель: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\).
Дробь равна нулю ⇒ числитель = 0:
\((x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=2\) или \(x=-2\).
Учитываем ОДЗ: \(x=2\) исключаем, \(x=-2\) оставляем.
Ответ: \(x = -2\).
9

Пример 4 (сложный знаменатель)

\(\frac{2}{x-2} – \frac{3x}{x^2-4} = \frac{x}{x+2}\)

ОДЗ: \(x \neq \pm 2\) (заметим \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)).
Общий знаменатель \((x-2)(x+2)\):
\(\frac{2(x+2)-3x}{(x-2)(x+2)} = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)}\)
Умножаем на общий знаменатель:
\(2(x+2)-3x = x(x-2)\)
\(2x+4-3x = x^2-2x \Rightarrow -x+4 = x^2-2x\)
\(x^2 – x – 4 = 0\)
\(D = 1+16=17 \Rightarrow x = \frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\).
Оба корня не равны \(\pm 2\) → входят в ОДЗ.
Ответ: \(x = \frac{1\pm\sqrt{17}}{2}\).
10

Типичные ошибки

  • ❌ Забывают найти ОДЗ и включают посторонние корни.
  • ❌ Неправильно находят общий знаменатель (не раскладывают на множители).
  • ❌ Ошибки в знаках при переносе и раскрытии скобок.
  • ❌ Сокращают выражения с переменной без учёта ОДЗ.
  • ❌ Умножают на выражение, которое может быть равно нулю, и не проверяют корни.
11

Задания для самостоятельной работы

  1. \(\frac{3x-1}{x+2} = 2\)
  2. \(\frac{5}{x-3} + \frac{4}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}\)
  3. \(\frac{2x}{x+1} – \frac{3}{x-1} = \frac{1}{x^2-1}\)
  4. \(\frac{x^2 – 9}{x+3} = 0\)
  5. \(\frac{x}{x-4} + \frac{5}{x-1} = \frac{4}{x^2-5x+4}\)

↘ Ответы на следующем слайде

12

Ответы к заданиям

1) \(x = 5\) 2) \(x = 4\) 3) \(x = -2\) 4) \(x = 3\) 5) \(x = -\frac{1}{2}\)

Проверьте свои решения!

13

Заключение

  • ✔ Всегда учитывайте ОДЗ.
  • ✔ Используйте формулы сокращённого умножения для разложения знаменателей.
  • ✔ Проверяйте каждый корень.
✨ Успехов в решении! ✨
Слайд 1 / 13
Учебный материал по теме «Дробно-рациональные уравнения» • Подготовлен для встраивания на сайт

Прокрутить вверх